Ondas de superficie en el agua: métodos matemáticos, computacionales y experimentales

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Ondas de gravedad en el planeta

En esta charla se expondrán ejemplos de ondas de gravedad en el planeta. las ecuaciones que se utilizan para estudiarlas y algunos métodos de solución usuales. Se resaltarán las escalas espaciales y temporales en las que ocurren estos fenómenos, su relación con el tiempo meteorológico y el clima. Se comentarán líneas de investigación activas en la ENES unidad Mérida.

Simulación numérica de interacción fluido estructura con superficie libre

En esta charla se presentarán técnicas de simulación numérica de altas prestaciones para problemas de interacción fluido estructura en presencia de una superficie libre, aplicaciones de dichas técnicas y posibilidades de investigación en esta área. En concreto se abordarán las posibilidades de estudiar el impacto de tsunamis en costas y la captación de energía de corrientes eólicas y marinas. Se comentarán líneas de investigación activas en la ENES unidad Mérida.

Temas:

Métodos ópticos para el estudio de ondas de superficie

El desarrollo de la fotografía digital ha permitido el desarrollo de métodos para el estudio de las ondas de superficie. Uno de ellos se conoce como método de Schlieren sintético y el segundo se conoce como perfilometría por transformada de Fourier (PTF). El primer procedimiento está basado en la refracción de la luz y requiere que el fluido sea transparente. Para su implementación se utiliza un patrón de puntos distribuidos de forma aleatoria. Este patrón de puntos se coloca usualmente en el fondo del recipiente donde se generan las ondas. El cambio de la forma de la superficie libre por la onda da lugar a un cambio en la trayectoria de los rayos que parten del fondo, lo que produce un desplazamiento aparente de los puntos del citado patrón. El desplazamiento aparente resulta ser proporcional al gradiente de la superficie libre. Mediante una integración es posible entonces reconstruir la forma de la superficie libre en un plano y conocer la evolución temporal de las ondas. Este procedimiento se ha aplicado con éxito para estudio de ondas de pequeña amplitud y ha permitido investigar ondas en un régimen no lineal débil. El segundo procedimiento (PTF) está basado en la reflexión de la luz por lo que se requiere agregar pintura al líquido, usualmente es utiliza dióxido de titanio u otro colorante que no cambie apreciablemente ni la densidad ni la tensión superficial. Para implementarlo se requiere proyectar un patrón de franjas sobre la superficie libre y registrar el paso de la onda con una cámara digital. En este procedimiento es posible acceder directamente a la forma de la superficie libre. A diferencia del método de Schlieren sintético, el método de pefilometría por transformada de Fourier permite investigar ondas incluso en regímenes fuertemente no lineales. Una de las aplicaciones de está técnica ha sido por ejemplo el estudio de la turbulencia de ondas. Basados en estos métodos es posible por ejemplo verificar el carácter dispersivo de las ondas de superficie, determinar la longitud de onda y la velocidad de fase, estudiar la interferencia y la difracción, etc.

Efectos no lineales en ondas de superficie, asimétrias y rompimiento de olas

La teoría de ondas de superficie que aparece en los libros de texto es una teoría donde se desprecian los términos no lineales y además se considera que el fluido no tiene viscosidad. Los efectos de viscosidad están asociados en lo fundamental a una atenuación, mientras que las no linealidades se ponen de manifiesto en el surgimiento de asimetrías en la forma de la onda. En el trabajo de G. Stokes “On the theory of oscillatory waves” publicado en 1847 se hace un desarrollo en serie de potencias, donde se presentan dos resultados. Uno es el surgimiento de una corriente – la deriva de Stokes- que es proporcional al cuadrado de la amplitud. El segundo es el surgimiento de una asimetría en la forma de la onda, las crestas tienen mayor amplitud que los valles. Si se aumenta la amplitud de la onda surgen entonces otros efectos no lineales como la aparición de asimetrías a lo largo de la dirección de propagación y el rompimiento de olas. En esta contribución se muestran efectos no lineales en un campo ondulatorio producido por focalización espacial, Se muestra experimentalmente como en ondas de pequeña amplitud las crestas efectivamente son más pronunciadas que los valles. Por otro lado, se ha logrado detectar la existencia de una corriente, pero esta es diferente de la deriva de Stokes. También se estudia la interferencia de ondas y el posible surgimiento de causticas.

Diferentes tipos de ondas en un fluido: ondas de superficie, ondas internas y ondas inerciales

Las ondas en fluidos están asociadas e la existencia de fuerzas de restauración. En ondas de superficie, estas son la gravedad y la tensión superficial, en el caso de ondas internas la fuerza de restauración la proporciona la suma de la gravedad y la flotación. Mientras que en las ondas inerciales la fuerza de restauración es la Coriolis. Una onda de superficie es una perturbación de la interfase de un líquido con un gas que se encuentra en la parte superior. Una onda interna es una perturbación que ocurre en un medio estratificado, es decir donde la densidad cambia con la coordenada vertical (el océano y la atmósfera son dos ejemplos de medios estratificados) con la característica de que las frecuencias presentes son inferiores a un valor, conocido como frecuencia de Brunt-Vaisala. Finalmente, una onda inercial es una perturbación en un medio en rotación y aquí también las frecuencias presentes don menores a un umbral. En esta contribución de hace un repaso de la teoría lineal de esos tres tipos de ondas y luego se muestran algunos resultados experimentales. Se ha usado velocimetría por imágenes de partículas (PIV) para el estudio de estos tres tipos de ondas. En el caso de las ondas internas se ha utilizado además una variante del método de Schlieren sintético para medir las fluctuaciones de densidad. Entre los principales resultados mostramos que en ondas internas e inerciales la relación de dispersión permite establecer la dirección de propagación y que en el caso de ondas monocromáticas se forma una estructura conocida como “Cruz de San Andrés”. Por otro lado, se hace una discusión de algunos efectos no lineales en los tres tipos de ondas.

Temas:

Flujo potencial de superficie libre y operador Dirichlet-Neumann

Introducimos las suposiciones físicas basicas y las ecuaciones para el modelo de flujo potencial para un fluido con frontera libre. Este es el punto de partida para nuestra descripción de ondas de agua de superficie. Describimos cómo esta formulación nos da las ecuaciones de movimiento del fluido y de su superficie, y también explicamos el papel del operador de Dirichlet-Neumann.

Modelos aproximados y estructura Hamiltoniana

Describimos la estructura Hamiltonian de las ecuaciones del flujo potencial, y el uso de las aproximaciones del operador de Dirichlet-Neumann para derivar ecuaciones simplificadas. Discutimos también cómo aplicar estas ideas para derivar una ecuación aproximada en dominios con paredes inclinadas. La motivación es describir ondas en una playa, o oscilaciones de un fluido en un tanque.

Ondas de superficie en dominios triangulares

Describimos los modos normales y frecuencias de olas en un dominio triangular, y presentamos resultados de un cálculo analitico aproximado de modos normales no lineales usando el método de formas normales. Este es un trabajo reciente en progreso con R.M. Vargas Magaña.